杭州高一政治辅导/高一政治

2025-07-11 21:19:51　　人气：8

杭州高一政治辅导/

杭州高一政治辅导/。杭州补习班，杭州初一培训班，杭州高一辅导班，杭州高考冲刺，杭州中小学辅导励志格言：立志是一件很重要的事情。工作随着志向走，成功随着工作来，这是一定的规律。立志、工作、成功是人类活动的三大要素。立志是事业的大门，工作是登堂入室的旅程，这旅程的尽头就有个成功在等待着，来庆祝你的努力结果……——巴斯德杭州高一政治辅导/。

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数的整除特性探究方法

一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d

=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。杭州初中生辅导班，杭州高中生培训，杭州中考培训，杭州高考培训，杭州中小学辅导经典格言：任何的限制，都是从自己的内心开始的。杭州高一政治辅导/。

中小学个性化辅导班

杭州高一政治辅导/。杭州初中生辅导班，杭州高中生培训，杭州中考培训，杭州高考培训，杭州中小学辅导经典格言：人世间，比青春再可宝贵的东西实在没有，然而青春也最容易消逝……谁能保持得永远的青春的，便是伟大的人。 --郭沫若。小数乘法速算技巧

一、常规小数乘法速算技巧
按照整数乘法计算后确定小数点位置
先忽略小数的小数点，按照整数乘法算出积。例如计算
1.2
×
3.4
1.2×3.4，先算
12
×
34
=
408
12×34=408。然后看因数中一共有几位小数，
1.2
1.2有一位小数，
3.4
3.4也有一位小数，一共两位小数，就从积的右边起数出两位，点上小数点，所以
1.2
×
3.4
=
4.08
1.2×3.4=4.08。如果积的小数位数不够，就在前面用
0
0补足再点小数点。例如
0.2
×
0.3
0.2×0.3，先算
2
×
3
=
6
2×3=6，因数共有两位小数，积是
0.06
0.06。积的小数部分末尾有
0
0的，要把
0
0去掉，如
1.25
×
0.4
=
0.5
1.25×0.4=0.5（先算
125
×
4
=
500
125×4=500，因数共三位小数，得到
0.500
0.500，去掉末尾
0
0为
0.5
0.5）
利用乘法运算定律
乘法交换律
思路：交换因数的位置，积不变。例如计算
1.25
×
5.27
×
8
1.25×5.27×8，运用乘法交换律把
1.25
1.25与
5.27
5.27交换位置，先算
8
×
1.25
=
10
8×1.25=10，再算
10
×
5.27
=
52.7
10×5.27=52.7。这样可以使计算更简便，因为
8
×
1.25
8×1.25能快速得出整数结果
乘法结合律
思路：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。例如
15
×
0.4
×
25
15×0.4×25，因为
0.4
×
25
=
10
0.4×25=10是整数，所以运用乘法结合律先计算
0.4
0.4和
25
25的积，再与
15
15相乘，即
15
×
(
0.4
×
25
)
=
15
×
10
=
150
15×(0.4×25)=15×10=150。通过这种方式可以降低计算难度
乘法分配律
思路：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。例如计算
1.7
×
101
1.7×101，把
101
101看成
(
100
+
1
)
(100+1)，利用乘法分配律把
100
100和
1
1分别与
1.7
1.7相乘，再把求得的积相加，即
1.7
×
(
100
+
1
)
=
1.7
×
100
+
1.7
×
1
=
170
+
1.7
=
171.7
1.7×(100+1)=1.7×100+1.7×1=170+1.7=171.7。这种方法在遇到接近整十、整百等数的乘法时非常实用，可以简化计算过程
二、特殊数字组合的小数乘法速算技巧
分解与组合数字
例如计算
12.5
×
25
×
6.4
×
9
12.5×25×6.4×9，将
6.4
6.4分解成
8
×
0.4
×
2
8×0.4×2，再利用乘法交换律和结合律，分别与
12.5
12.5，
25
25和
9
9相乘。
12.5
×
8
=
100
12.5×8=100，
25
×
0.4
=
10
25×0.4=10，最后再乘以
2
×
9
=
18
2×9=18，计算结果为
100
×
10
×
18
=
18000
100×10×18=18000。通过对数字进行合理的分解与组合，依据乘法运算定律，可以提高运算速度
部分特殊整数乘法速算技巧在小数乘法中的应用（通过忽略小数点先按整数算）
十位数是“1”的两位数相乘
速算口诀：头是
1
1，尾加尾，尾乘尾（超过
10
10要进位）。例如计算
1.2
×
1.3
1.2×1.3，先按照整数
12
×
13
12×13计算，根据口诀，头是
1
1，尾
2
+
3
=
5
2+3=5，尾
2
×
3
=
6
2×3=6，得到
156
156，因数共有两位小数，所以结果是
1.56
1.56。
个位数都是“9”的两位数相乘
速算口诀：头数各加
1
1，相乘再乘
10
10，减去相加数，最后再放
1
1。例如
1.9
×
2.9
1.9×2.9，按照整数
19
×
29
19×29来用口诀计算，头数
1
+
1
=
2
1+1=2，
2
+
1
=
3
2+1=3，
2
×
3
×
10
=
60
2×3×10=60，
(
1
+
2
)
=
3
(1+2)=3，
60
?
3
+
1
=
58
60?3+1=58，因数共有两位小数，结果为
5.8
5.8。
十位数都是“9”的两位数相乘
速算口诀：
100
100减前数，再被后减数。
100
100减大家，结果相互乘，占
2
2位。例如
9.1
×
9.2
9.1×9.2，按整数
91
×
92
91×92计算，
100
?
91
=
9
100?91=9，
100
?
92
=
8
100?92=8，
9
×
8
=
72
9×8=72，
100
?
(
9
+
8
)
=
83
100?(9+8)=83，得到
8372
8372，因数共有两位小数，结果为
83.72
83.72。
头相同，尾互补（尾数相加为
10
10）的两位数相乘
速算口诀：头乘头加
1
1，尾乘尾占
2
2位。例如
2.3
×
2.7
2.3×2.7，按整数
23
×
27
23×27算，头
2
×
(
2
+
1
)
=
6
2×(2+1)=6，尾
3
×
7
=
21
3×7=21，得到
621
621，因数共有两位小数，结果为
6.21
6.21。
头互补，尾相同的两位数相乘
速算口诀：头乘头加尾，尾乘尾占
2
2位。例如
3.2
×
7.2
3.2×7.2，按整数
32
×
72
32×72算，头
3
×
7
+
2
=
23
3×7+2=23，尾
2
×
2
=
4
2×2=4，得到
2304
2304，因数共有两位小数，结果为
23.04
23.04。
互补数乘叠数（一个数与另一个数各位数字相同）
速算口诀：头加
1
1再乘头，尾乘尾占
2
2位。例如
3.3
×
4.6
3.3×4.6（
3
3和
7
7互补，这里把
4.6
4.6看成
44
+
2
44+2，近似看作叠数
44
44），按整数
33
×
44
33×44算，头
(
3
+
1
)
×
4
=
16
(3+1)×4=16，尾
3
×
4
=
12
3×4=12，得到
1612
1612，因数共有两位小数，结果为
16.12
16.12。
其中一个数是
11
11的两位数相乘
速算口诀：首尾都不动，相加放中间。例如
1.1
×
2.3
1.1×2.3，按整数
11
×
23
11×23算，首是
2
2，尾是
3
3，中间
2
+
3
=
5
2+3=5，得到
253
253，因数共有两位小数，结果为
2.53
2.53。杭州初中生辅导班，杭州高中生培训，杭州中考培训，杭州高考培训，杭州中小学辅导经典格言：没有一种不通过蔑视忍受和奋斗就可以征服的命运。杭州高一政治辅导/。

杭州高一政治辅导/

杭州高一政治辅导/杭州补习班，杭州初一培训班，杭州高一辅导班，杭州高考冲刺，杭州中小学辅导励志格言：不管时代的潮流和社会的风尚怎样，总可以凭着自己高贵的品质，超脱时代和社会，走自己正确的道路。。

中小学个性化辅导

杭州高一政治辅导/。　　杭州小学生辅导班，杭州补习班，杭州中小学辅导，杭州提升学习成绩，杭州中小学培训励志格言：想到和得到，中间还有两个字——就是要做到。。五年级数学几何题解题技巧

基础知识的掌握
牢记几何图形的基本性质，如长方形的面积 = 长×宽、正方形的面积 = 边长×边长、三角形的面积 = 底×高÷2等，这是解题的基础。这些公式在很多几何题中都会直接或间接用到，例如在求组合图形的面积时，往往需要将其分解为几个基本图形，然后运用这些基本图形的面积公式进行计算。
理解几何图形之间的关系，像平行四边形和长方形之间可以通过割补法相互转换，这种关系有助于解决一些复杂的几何问题，比如将平行四边形转化为长方形来计算面积等。
画图辅助解题
对于不规则图形的题目，画图能够将抽象的问题直观化。例如，在求一个不规则多边形的面积时，可以通过画图将其分割成几个规则的图形，这样就能更清晰地看出各个部分之间的关系，从而找到解题思路。
在一些关于立体几何的初步认识题目中，画出立体图形的展开图或者简单的示意图，有助于理解题意。比如在求正方体、长方体的表面积或者棱长相关问题时，画图可以避免空间想象上的错误。
分解复杂图形
遇到复杂的几何图形时，尝试将其分解为简单的基本图形。比如一个复杂的组合图形可能是由三角形、长方形、梯形等组合而成，分别计算这些基本图形的面积或其他相关量，再根据题目要求进行加减运算，就可以得到最终结果。
在计算一些复杂的立体图形体积时，也可以采用类似的方法。例如一个不规则的立体组合体，可以分解成几个规则的正方体、长方体等，分别求出体积后再进行组合计算。
寻找等量关系
在一些几何题中，会存在等量关系。例如在等积变形的题目中，一个图形的面积或体积在形状改变后保持不变，根据这个等量关系可以列出方程求解。比如把一个圆柱体钢材锻造成一个长方体零件，虽然形状变了，但体积不变，就可以利用这个等量关系来解题。
对于一些图形的边长、周长等之间也可能存在等量关系，像在长方形中，长与宽的和的2倍等于周长，通过找出这些等量关系，可以从已知条件推出未知量，进而解决问题。杭州高一政治辅导/　　杭州补习班，杭州初一培训班，杭州高一辅导班，杭州高考冲刺，杭州中小学辅导励志格言：你们之所以喝鸡汤，是因为肉被别人吃了。杭州高一政治辅导/。

杭州小学生辅导班，杭州补习班，杭州中小学辅导，杭州提升学习成绩，杭州中小学培训励志格言：一条围巾围住了想你的温度。杭州高一政治辅导/。预约免费试听课：400-6169-685.

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