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2025-07-11 16:21:50|已浏览：2次
浦江县高考冲刺辅导班/。金华初中生辅导班，金华高中生培训，金华中考培训，金华高考培训，金华中小学辅导经典格言：Great works are performed not by strengh, but by perseverance.（Samuel Johnson, British writer and critic）浦江县高考冲刺辅导班/。
浦江县高考冲刺辅导班/
数的整除特性探究方法
一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d
=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。金华初中生辅导班，金华高中生培训，金华中考培训，金华高考培训，金华中小学辅导经典格言：每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。浦江县高考冲刺辅导班/。
浦江县高考冲刺辅导班/。金华补习班，金华初一培训班，金华高一辅导班，金华高考冲刺，金华中小学辅导励志格言：日累月积见功勋，山穷水尽惜寸阴。。四年级数学自主学习策略
一、教材研读策略
多层次阅读
粗读：先快速浏览教材的框架结构，大致了解本章节知识的轮廓，明确重点和难点内容所在，这能帮助建立整体的知识印象。
细读：针对重要的概念、性质、判定、公式、法则以及思想方法等，反复阅读、仔细体会和深入思考，理解其本质以及因果关系，对不理解之处做好标记以便后续解决。
研读：研究知识之间的内在联系，探讨书本知识编排的意图，对知识进行分析、归纳与总结，构建起完整的知识体系，完善自身的认知结构。
全面读教材内容
读标题：认真体会标题，通过标题把握教材主要内容的核心要点。
读例题：预习时带着疑问读例题，初步掌握解题的方法思路。
读插图：在教师的指导下认真阅读课本插图，使文字内容在脑海中有更具体、形象和准确的理解。
读算式：对教材中的结语逐字逐句地分析理解，从而精确把握相关内容。
二、拓展学习策略
广泛阅读课外资料
课本不是获取知识的唯一来源，除了认真研读课本，还应阅读相关的课外资料，例如数学科普书籍、数学杂志等，以此拓宽知识领域，加深对数学知识的全面理解。
从生活中学习数学
数学源于生活，在生活中寻找数学的原型。关注日常生活中的数学现象，如购物时的计算、建筑中的几何形状等。将生活中的数学知识与课堂所学联系起来，不仅能加深对数学知识的理解，还能提高学习数学的兴趣和应用能力。
三、学习方法多样化策略
多途径解题
在解决数学问题时，要尝试采用不同的方法和途径，克服机械呆板地依赖单一解法的习惯。这样有助于深入理解数学知识之间的联系，同时也能提高解决问题的能力和思维的灵活性。
学用结合
在学习过程中，准确把握抽象概念的本质含义，了解从实际模型到理论知识的演变过程。将所学的理论知识和思维方法运用到实际生活中，在更大范围内寻找所学理论知识的具体实例，使知识更加具体化。
四、复习与总结策略
及时复习
当天学习的内容当天消化，遵循先复习后做练习的原则。复习能够加深对知识的理解和记忆，有助于在做练习时更好地运用所学知识。
单元总结
每个单元学习结束后，对所学知识进行概括性整理，将知识系统化、深刻化，构建完整的单元知识体系，这样有助于从整体上把握知识，提高综合运用知识的能力。
五、创新与反思策略
有创造性地学习
在模仿学习的基础上进行创新。模仿是数学学习中必要的环节，但不能机械模仿，要在理解消化的基础上，积极开动脑筋，提出自己独特的见解和看法，突破现有的框架和模式。
总结与评价学习过程
学习中的总结和评价非常重要，这是学习的延续和提升。在学习过程中要注意总结听课、阅读和解题等环节中的收获与体会，从而有利于知识体系的建立、解题规律的掌握、学习方法和态度的调整以及评判能力的提高。 金华小学生辅导班，金华补习班，金华中小学辅导，金华提升学习成绩，金华中小学培训励志格言：不善于倾听不同的声音，是管理者最大的疏忽。——美国女企业家玛丽·凯浦江县高考冲刺辅导班/。
浦江县高考冲刺辅导班/。金华补习班，金华初一培训班，金华高一辅导班，金华高考冲刺，金华中小学辅导励志格言： 金华补习班，金华初一培训班，金华高一辅导班，金华高考冲刺，金华中小学辅导励志格言：大道之行也，天下为公 。——礼记。小数除法商不变性质探究
一、商不变性质的内容
商不变性质是指被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。例如在整数除法中，
40
÷
8
=
5
40÷8=5，当被除数和除数同时乘以2时，变为
(
40
×
2
)
÷
(
8
×
2
)
=
80
÷
16
=
5
(40×2)÷(8×2)=80÷16=5，商依然是5；当被除数和除数同时除以2时，
(
40
÷
2
)
÷
(
8
÷
2
)
=
20
÷
4
=
5
(40÷2)÷(8÷2)=20÷4=5，商不变。
二、商不变性质在小数除法中的体现
将除数转化为整数
在小数除法中，当除数是小数时，根据商不变性质将除数变为整数进行计算。比如计算
3.6
÷
0.9
3.6÷0.9，把除数
0.9
0.9扩大10倍变为9，同时被除数
3.6
3.6也扩大10倍变为36，即
(
3.6
×
10
)
÷
(
0.9
×
10
)
=
36
÷
9
=
4
(3.6×10)÷(0.9×10)=36÷9=4。
再如
1.25
÷
0.25
1.25÷0.25，把除数
0.25
0.25变为25（乘以100），被除数
1.25
1.25变为125（乘以100），
125
÷
25
=
5
125÷25=5。
小数除法的简便计算
对于一些小数除法算式，可以利用商不变性质进行简便计算。例如
4.8
÷
1.2
4.8÷1.2，可以将被除数和除数同时除以0.4，得到
(
4.8
÷
0.4
)
÷
(
1.2
÷
0.4
)
=
12
÷
3
=
4
(4.8÷0.4)÷(1.2÷0.4)=12÷3=4。
三、商不变性质的证明
从除法的意义理解
除法可以看作是平均分的过程。例如有
10
÷
2
=
5
10÷2=5，表示把10个物品平均分成2份，每份是5个。如果将10和2同时乘以3，变为
30
÷
6
30÷6，相当于把30个物品平均分成6份，每份依然是5个，因为我们是按照相同的比例扩大了总数和份数，所以每份的数量不变，即商不变。
用分数的基本性质解释（商与分数的关系）
因为除法和分数有着密切的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母。例如
2
÷
5
=
2
5
2÷5=
5
2
?
，根据分数的基本性质，分子分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数值不变。当被除数和除数同时乘以一个数时，就相当于分数的分子分母同时乘以这个数，所以商不变。如
(
2
×
3
)
÷
(
5
×
3
)
=
2
×
3
5
×
3
=
2
5
(2×3)÷(5×3)=
5×3
2×3
?
=
5
2
?
，商不变。
四、商不变性质中的特殊情况（0除外）
0不能作除数的原因
如果0作除数，例如
5
÷
0
5÷0，从除法的意义理解，它表示把5平均分成0份，这是没有意义的。而且根据乘法和除法的互逆关系，如果
5
÷
0
=
?
5÷0=a，那么
0
×
?
=
5
0×a=5，但是0乘以任何数都得0，不可能得到5，所以0不能作除数。因此在商不变性质中，要明确0除外。
余数的变化（有余数的除法情况）
在有余数的除法中，当被除数和除数同时变化时，商不变，但余数会发生变化。例如
9
÷
2
=
4
?
?
1
9÷2=4??1，如果将被除数和除数同时乘以2，变为
18
÷
4
=
4
?
?
2
18÷4=4??2，商还是4，但余数从1变为2，余数随着被除数和除数的变化而乘以相同的数（这里是乘以2）。浦江县高考冲刺辅导班/金华补习班，金华初一培训班，金华高一辅导班，金华高考冲刺，金华中小学辅导励志格言：火车跑得快，全靠车头带。浦江县高考冲刺辅导班/。
