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2025-05-13 04:08:12|已浏览：12次
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数的整除特性探究方法
一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d
=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。武汉补习班，武汉初一培训班，武汉高一辅导班，武汉高考冲刺，武汉中小学辅导励志格言：在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其它一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。江夏高一英语暑假班/。
江夏高一英语暑假班/ 武汉补习班，武汉初一培训班，武汉高一辅导班，武汉高考冲刺，武汉中小学辅导励志格言：不在其位，不谋其政。。中小学教育(一对一辅导)专注于学生学习能力的培养以及学生学科知识的辅导,中小学教育(一对一辅导)视教学质量为生命,受到许多学生和家长的认可。
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中小学教育秉承"以人为本、因材施教"的个性化教育理念,打造了包括个性化培训、全日制教育、职业教育、文化服务等在内的丰富业务模式. 武汉小学生辅导班，武汉补习班，武汉中小学辅导，武汉提升学习成绩，武汉中小学培训励志格言：为了伟大的事业，不要害怕失去美好的东西。——肯尼·罗杰斯
江夏高一英语暑假班/武汉补习班，武汉初一培训班，武汉高一辅导班，武汉高考冲刺，武汉中小学辅导励志格言：一个人如果认为自己在一生中能干出一番不同寻常的大事，就比没有远大理想的可怜虫，有着更多的成功的机会。——伯纳德·马拉默德。
武汉补习班，武汉初一培训班，武汉高一辅导班，武汉高考冲刺，武汉中小学辅导励志格言：大道之行，天下为公。——礼记江夏高一英语暑假班/。五年级数学简易方程解题思路
一、理解方程的基本概念
方程的定义
含有未知数的等式叫方程。例如
2
?
+
3
=
9
2x+3=9，其中
?
x是未知数，这个式子又是等式，所以它是方程。
方程的解与解方程
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。如在方程
2
?
+
3
=
9
2x+3=9中，
?
=
3
x=3时方程左右两边相等，
3
3就是这个方程的解。
解方程则是求方程的解的过程。
二、解方程的一般思路
利用等式的性质
等式性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
例如方程
?
?
5
=
8
x?5=8，为了求出
?
x的值，根据等式性质一，等式两边同时加上
5
5，得到
?
?
5
+
5
=
8
+
5
x?5+5=8+5，即
?
=
13
x=13。
等式性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为
0
0的数，等式仍然成立。
比如方程
3
?
=
18
3x=18，根据等式性质二，等式两边同时除以
3
3，得到
3
?
÷
3
=
18
÷
3
3x÷3=18÷3，解得
?
=
6
x=6。
化简方程
对于含有括号或同类项的方程，先化简方程。
例如方程
2
(
?
+
3
)
=
10
2(x+3)=10，先利用乘法分配律将括号展开得到
2
?
+
6
=
10
2x+6=10，再进行求解。
又如方程
4
?
+
3
?
=
21
4x+3x=21，先将左边的同类项合并得到
7
?
=
21
7x=21，然后求解
?
=
3
x=3。
三、列方程解应用题的思路
分析题目，找出等量关系
根据关键语句找等量关系
例如“故事书的本数比科技书的本数的
2
2倍少
5
5本”，设科技书有
?
x本，那么故事书的本数可以表示为
2
?
?
5
2x?5，这就是一个等量关系。
根据公式找等量关系
如在行程问题中，路程 = 速度×时间。如果已知甲、乙两人的速度和行驶时间，以及两人行驶的路程关系，就可以根据这个公式列出方程。
根据图形或图表找等量关系
对于一些用线段图或者统计表呈现的问题，从图或表中分析数量之间的关系，找出等量关系。
设未知数
一般设要求的量为未知数
?
x（或其他字母），如果有两个相关的未知量，可以设其中一个为
?
x，另一个用含有
?
x的式子表示。
例如在“甲、乙两人年龄之和是
50
50岁，甲比乙大
10
10岁，求甲、乙的年龄”这个问题中，可以设乙的年龄为
?
x岁，那么甲的年龄就是
?
+
10
x+10岁。
列方程并求解
根据找出的等量关系列出方程，然后按照解方程的方法求解。
例如根据前面甲、乙年龄的关系列出方程
?
+
(
?
+
10
)
=
50
x+(x+10)=50，化简得到
2
?
+
10
=
50
2x+10=50，通过等式性质求解得
?
=
20
x=20，那么甲的年龄就是
?
+
10
=
30
x+10=30岁。
检验答案
把求出的未知数的值代入原方程，看方程左右两边是否相等。
如前面甲、乙年龄的问题，把
?
=
20
x=20代入方程
?
+
(
?
+
10
)
=
50
x+(x+10)=50中，左边
=
20
+
(
20
+
10
)
=
50
=20+(20+10)=50，右边
=
50
=50，左右两边相等，说明答案正确。 武汉小学生辅导班，武汉补习班，武汉中小学辅导，武汉提升学习成绩，武汉中小学培训励志格言：读书和学习是在别人思想和知识的帮助下，建立起自己的思想和知识。——普希金江夏高一英语暑假班/。
江夏高一英语暑假班/武汉小学生辅导班，武汉补习班，武汉中小学辅导，武汉提升学习成绩，武汉中小学培训励志格言：困难就像日出，迎上去就是光明；勤奋就像新娘，娶上她就会幸福！ 江夏高一英语暑假班/。欢迎预约就近校区免费测评体验课。预约免费试听课：400-6169-685.
