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2025-07-31 02:33:30|已浏览：3次
温州高考地理暑假班/。温州初中生辅导班，温州高中生培训，温州中考培训，温州高考培训，温州中小学辅导经典格言：有志者事竟成也！--刘秀温州高考地理暑假班/。
温州高考地理暑假班/数的整除特性探究方法
一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d
=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。温州初中生辅导班，温州高中生培训，温州中考培训，温州高考培训，温州中小学辅导经典格言：没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷得不能在某方面给他人帮助。温州高考地理暑假班/。
温州高考地理暑假班/。温州补习班，温州初一培训班，温州高一辅导班，温州高考冲刺，温州中小学辅导励志格言：百川归海，而海不盈。四年级数学统计图表案例
一、西师大版四年级数学下册条形统计图案例
教学目标
通过实例进一步认识条形统计图，能够用条形统计图直观、形象地表示数据。
经历由1格表示1个单位到1格表示多个单位的过程，并能对统计数据进行分析、解释，进一步培养学生的统计观念。
体验确定1格代表多少个单位合适，渗透具体情况具体分析的思想。
教学重难点
重点：认识1格表示多个单位的条形统计图。
难点：确定单位长度表示合适的数量。
教学过程中的案例
创设情境，复习旧知
引导学生谈论自己喜欢的体育运动，并出示一年级时踢毽子的成绩统计表，然后将成绩统计表转换成条形统计图（纵轴上1格表示1个单位），让学生更清楚地看到每个人的成绩。
引起冲突，探索新知
展示同样三个小朋友现在的踢毽成绩，让学生尝试将成绩转换成条形统计图。当发现如果1格表示1下，纵轴上至少需要分很多格（如120格），会分得太细、密密麻麻、看不清楚且浪费时间时，学生们建议可以用1格表示10下（因为数据都是整十整百的），然后引导学生分析如果1格表示10下，纵轴上至少需要分多少格以及如何标注数据，如何用直条表示成绩等。还举例苹果园最近几年的苹果产量统计表，1格表示1千克或10千克不合适（画不下），可根据数据范围选择合适的1格表示的数量，如对于重点处理7500的直条，可以把6000 - 8000这一格平均分成4份，取3份就可以了。最后可以根据这个统计图来预测2008年的柑橘产量，不同同学有不同观点（有的认为产量会增加，因为前几年产量逐年增多；有的认为会下降，因为当年高温干旱）
二、苏教版四年级数学上册统计表和条形统计图案例
教学目标中的能力培养方面
数据处理能力：通过制作统计表和条形统计图，培养学生收集、整理、处理数据的能力，使学生能够有效地分析和理解数据信息。
逻辑思维能力：在制作统计表和条形统计图的过程中，学生需要进行分类、比较、归纳等逻辑思维活动，从而培养学生的逻辑思维能力。
问题解决能力：学生需要运用所学的数学知识和统计方法，解决实际问题，培养学生的综合运用能力和问题解决能力。
信息素养：通过学习，学生能够了解和掌握统计表和条形统计图的基本知识，具备基本的信息素养，能够在日常生活中更好地获取和利用信息。
教学过程中的案例相关
课前自主探索：教师布置相关任务引导学生自主探索，如让学生回忆生活中见到的统计信息等。
课中强化技能
导入新课：通过一个实际案例，引出统计表和条形统计图的重要性，激发学生的学习兴趣。
具体教学活动
案例研究法：提供一些实际案例，让学生通过分析案例中的统计信息，运用所学知识解决实际问题。例如给出一些公司不同月份的产品销量统计，让学生分析销量变化趋势等。
项目导向学习：组织学生进行小组合作，完成一个统计表和条形统计图的制作任务。比如统计班级同学的兴趣爱好人数，然后制作成统计表和条形统计图。
角色扮演：让学生扮演不同的角色，如数据收集员、统计分析师等，通过角色扮演的方式，让学生更好地理解不同岗位的工作内容和职责。
游戏设计：设计一些与统计表和条形统计图相关的游戏，如数据接龙、统计图猜猜看等，增加学生的学习兴趣，提高他们的数据处理能力。
教学媒体和资源使用
播放关于统计表和条形统计图制作和分析的教学视频，让学生更直观地了解整个制作过程。
指导学生使用在线工具，如电子表格软件或者统计图制作工具，提高他们制作统计表和条形统计图的效率。
练习题中的案例
根据统计图确定单位量等内容
在一些练习题中，有根据条形统计图填空的题目。如统计图中，1格表示（）票，得票最多的城市是（），与得票最少的城市相差（）票，共有（）名代表投票等类型的题目。通过这样的练习让学生掌握识图能力，包括确定单位量、最多和最少数据的确定方法等。
还有根据汽车产量的统计图确定每一格表示（）辆汽车，产量最少是（）月份，是（）辆；产量最多是（）月份，是（）辆；最多与最少的月份产量相差（）辆汽车，下半年一共生产了（）辆汽车等问题，加深学生对统计图的理解和应用能力温州补习班，温州初一培训班，温州高一辅导班，温州高考冲刺，温州中小学辅导励志格言：能在一起不容易，缺点可以改正，性格可以磨合，但机会失去了就再也没有了。温州高考地理暑假班/。
温州高考地理暑假班/。温州补习班，温州初一培训班，温州高一辅导班，温州高考冲刺，温州中小学辅导励志格言：合理安排时间，就等于节约时间。 ──培根。小数乘法在生活中的应用
一、购物消费方面的应用
计算商品总价
在购物时，我们经常会用到小数乘法。例如，当苹果的单价是每斤
2.5
2.5元，我们要买
5
5斤时，根据“单价×数量 = 总价”的关系，就需要用小数乘法来计算总价，即
2.5
×
5
=
12.5
2.5×5=12.5元
1
]
1]。
又如小明想买
2
2双袜子，每双袜子
3.5
3.5元，那么他应付的钱数就是
3.5
×
2
=
7
3.5×2=7元
1
]
1]。
比较金额是否足够
妈妈想买
3
3千克香蕉，每千克
7.8
7.8元，那么香蕉的总价是
7.8
×
3
=
23.4
7.8×3=23.4元，通过这个计算可以知道
25
25元钱是否足够
1
]
1]。
二、缴费计算方面的应用
计算学生的书本费
如果班上共有
32
32名学生，每名学生的书籍费是
83.5
83.5元，那么总共应缴的费用就是
83.5
×
32
83.5×32元（这里按照小数乘法计算方法得出结果），计算结果就是班级应缴的书本费总额
1
]
1]。
三、几何图形相关的应用
计算正方形周长
对于一个正方形，已知其边长是
19.5
19.5米，根据正方形周长 = 边长×
4
4，那么它的周长就是
19.5
×
4
=
78
19.5×4=78米，这里用到了小数与整数的乘法
1
]
1]。
四、产量计算方面的应用
计算不同月份的产量关系
一个奶牛场八月份产奶
18
18吨，九月份产的奶是八月份的
2.4
2.4倍，那么九月份产奶量为
18
×
2.4
=
43.2
18×2.4=43.2吨
1
]
1]。
红信化肥厂第一季度生产化肥
1800
1800吨，第二季度生产的化肥是第一季度的
1.2
1.2倍，第二季度比第一季度多生产的化肥量为
1800
×
1.2
?
1800
=
2160
?
1800
=
360
1800×1.2?1800=2160?1800=360吨
1
]
1]。
五、行程问题中的应用
计算行程距离
哥哥上大学，要坐
6.4
6.4小时的火车，火车的平均速度是
70.5
70.5千米/小时，根据路程 = 速度×时间，哥哥坐火车走的距离就是
70.5
×
6.4
70.5×6.4千米（通过小数乘法计算出结果）
1
]
1]。
一辆客车从甲地开往乙地，原计划每小时行
56.5
56.5千米，实际每小时比原计划多行
10
10千米，
11
11小时后距离乙地还有
5.5
5.5千米，那么甲、乙两地相距
(
56.5
+
10
)
×
11
+
5.5
=
737
(56.5+10)×11+5.5=737千米
1
]
1]。
六、工程问题中的应用
计算公路长度
修路队修一条公路，前
5
5天平均每天修
0.26
0.26千米，后
3
3天平均每天比前
5
5天平均每天多修
0.14
0.14千米，正好修完。这条路的长度可以分两部分计算，一部分是前
5
5天修的，另一部分是后
3
3天修的。
方法一：
0.26
×
5
+
(
0.26
+
0.14
)
×
3
=
1.3
+
1.2
=
2.5
0.26×5+(0.26+0.14)×3=1.3+1.2=2.5千米；
方法二：这条路每天修
0.26
0.26千米，修
8
8天，再加上后
3
3天多修的那一部分，即
0.26
×
(
5
+
3
)
+
0.14
×
3
=
2.08
+
0.42
=
2.5
0.26×(5+3)+0.14×3=2.08+0.42=2.5千米
1
]
1]。
七、农业生产中的应用
计算水渠长度
某村要修一条水渠，原计划每天修
0.16
0.16千米，实际每天比原计划多修
0.04
0.04千米，修了
30
30天后还差
1.5
1.5千米没修。那么这条水渠的长度为
(
0.16
+
0.04
)
×
30
+
1.5
=
6
+
1.5
=
7.5
(0.16+0.04)×30+1.5=6+1.5=7.5千米
1
]
1]。
八、动物速度相关的应用
计算鸵鸟的速度
已知非洲野狗的最高速度是
56
56千米/时，鸵鸟的最高速度是非洲野狗的
1.3
1.3倍，那么鸵鸟的最高速度是
56
×
1.3
=
72.8
56×1.3=72.8千米/时
2
]
2][
4
]
4]。温州高考地理暑假班/温州初中生辅导班，温州高中生培训，温州中考培训，温州高考培训，温州中小学辅导经典格言：任何事情都应该尽可能做到简单，简单到不能再简单。（阿尔伯特·爱因斯坦）温州高考地理暑假班/。
