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2025-06-21 19:11:15|已浏览：6次
凤岗全科培训/。东莞补习班，东莞初一培训班，东莞高一辅导班，东莞高考冲刺，东莞中小学辅导励志格言：美，不能造作。女人欲显示妩媚，一旦造作，便成了媚俗人。过多的造作，本身就是一种浅薄。凤岗全科培训/。
凤岗全科培训/数的整除特性探究方法
一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d
=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。东莞初中生辅导班，东莞高中生培训，东莞中考培训，东莞高考培训，东莞中小学辅导经典格言：人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。凤岗全科培训/。
凤岗全科培训/。 名誉是放大镜。。小数乘法速算技巧
一、常规小数乘法速算技巧
按照整数乘法计算后确定小数点位置
先忽略小数的小数点，按照整数乘法算出积。例如计算
1.2
×
3.4
1.2×3.4，先算
12
×
34
=
408
12×34=408。然后看因数中一共有几位小数，
1.2
1.2有一位小数，
3.4
3.4也有一位小数，一共两位小数，就从积的右边起数出两位，点上小数点，所以
1.2
×
3.4
=
4.08
1.2×3.4=4.08。如果积的小数位数不够，就在前面用
0
0补足再点小数点。例如
0.2
×
0.3
0.2×0.3，先算
2
×
3
=
6
2×3=6，因数共有两位小数，积是
0.06
0.06。积的小数部分末尾有
0
0的，要把
0
0去掉，如
1.25
×
0.4
=
0.5
1.25×0.4=0.5（先算
125
×
4
=
500
125×4=500，因数共三位小数，得到
0.500
0.500，去掉末尾
0
0为
0.5
0.5）
利用乘法运算定律
乘法交换律
思路：交换因数的位置，积不变。例如计算
1.25
×
5.27
×
8
1.25×5.27×8，运用乘法交换律把
1.25
1.25与
5.27
5.27交换位置，先算
8
×
1.25
=
10
8×1.25=10，再算
10
×
5.27
=
52.7
10×5.27=52.7。这样可以使计算更简便，因为
8
×
1.25
8×1.25能快速得出整数结果
乘法结合律
思路：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。例如
15
×
0.4
×
25
15×0.4×25，因为
0.4
×
25
=
10
0.4×25=10是整数，所以运用乘法结合律先计算
0.4
0.4和
25
25的积，再与
15
15相乘，即
15
×
(
0.4
×
25
)
=
15
×
10
=
150
15×(0.4×25)=15×10=150。通过这种方式可以降低计算难度
乘法分配律
思路：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。例如计算
1.7
×
101
1.7×101，把
101
101看成
(
100
+
1
)
(100+1)，利用乘法分配律把
100
100和
1
1分别与
1.7
1.7相乘，再把求得的积相加，即
1.7
×
(
100
+
1
)
=
1.7
×
100
+
1.7
×
1
=
170
+
1.7
=
171.7
1.7×(100+1)=1.7×100+1.7×1=170+1.7=171.7。这种方法在遇到接近整十、整百等数的乘法时非常实用，可以简化计算过程
二、特殊数字组合的小数乘法速算技巧
分解与组合数字
例如计算
12.5
×
25
×
6.4
×
9
12.5×25×6.4×9，将
6.4
6.4分解成
8
×
0.4
×
2
8×0.4×2，再利用乘法交换律和结合律，分别与
12.5
12.5，
25
25和
9
9相乘。
12.5
×
8
=
100
12.5×8=100，
25
×
0.4
=
10
25×0.4=10，最后再乘以
2
×
9
=
18
2×9=18，计算结果为
100
×
10
×
18
=
18000
100×10×18=18000。通过对数字进行合理的分解与组合，依据乘法运算定律，可以提高运算速度
部分特殊整数乘法速算技巧在小数乘法中的应用（通过忽略小数点先按整数算）
十位数是“1”的两位数相乘
速算口诀：头是
1
1，尾加尾，尾乘尾（超过
10
10要进位）。例如计算
1.2
×
1.3
1.2×1.3，先按照整数
12
×
13
12×13计算，根据口诀，头是
1
1，尾
2
+
3
=
5
2+3=5，尾
2
×
3
=
6
2×3=6，得到
156
156，因数共有两位小数，所以结果是
1.56
1.56。
个位数都是“9”的两位数相乘
速算口诀：头数各加
1
1，相乘再乘
10
10，减去相加数，最后再放
1
1。例如
1.9
×
2.9
1.9×2.9，按照整数
19
×
29
19×29来用口诀计算，头数
1
+
1
=
2
1+1=2，
2
+
1
=
3
2+1=3，
2
×
3
×
10
=
60
2×3×10=60，
(
1
+
2
)
=
3
(1+2)=3，
60
?
3
+
1
=
58
60?3+1=58，因数共有两位小数，结果为
5.8
5.8。
十位数都是“9”的两位数相乘
速算口诀：
100
100减前数，再被后减数。
100
100减大家，结果相互乘，占
2
2位。例如
9.1
×
9.2
9.1×9.2，按整数
91
×
92
91×92计算，
100
?
91
=
9
100?91=9，
100
?
92
=
8
100?92=8，
9
×
8
=
72
9×8=72，
100
?
(
9
+
8
)
=
83
100?(9+8)=83，得到
8372
8372，因数共有两位小数，结果为
83.72
83.72。
头相同，尾互补（尾数相加为
10
10）的两位数相乘
速算口诀：头乘头加
1
1，尾乘尾占
2
2位。例如
2.3
×
2.7
2.3×2.7，按整数
23
×
27
23×27算，头
2
×
(
2
+
1
)
=
6
2×(2+1)=6，尾
3
×
7
=
21
3×7=21，得到
621
621，因数共有两位小数，结果为
6.21
6.21。
头互补，尾相同的两位数相乘
速算口诀：头乘头加尾，尾乘尾占
2
2位。例如
3.2
×
7.2
3.2×7.2，按整数
32
×
72
32×72算，头
3
×
7
+
2
=
23
3×7+2=23，尾
2
×
2
=
4
2×2=4，得到
2304
2304，因数共有两位小数，结果为
23.04
23.04。
互补数乘叠数（一个数与另一个数各位数字相同）
速算口诀：头加
1
1再乘头，尾乘尾占
2
2位。例如
3.3
×
4.6
3.3×4.6（
3
3和
7
7互补，这里把
4.6
4.6看成
44
+
2
44+2，近似看作叠数
44
44），按整数
33
×
44
33×44算，头
(
3
+
1
)
×
4
=
16
(3+1)×4=16，尾
3
×
4
=
12
3×4=12，得到
1612
1612，因数共有两位小数，结果为
16.12
16.12。
其中一个数是
11
11的两位数相乘
速算口诀：首尾都不动，相加放中间。例如
1.1
×
2.3
1.1×2.3，按整数
11
×
23
11×23算，首是
2
2，尾是
3
3，中间
2
+
3
=
5
2+3=5，得到
253
253，因数共有两位小数，结果为
2.53
2.53。 东莞小学生辅导班，东莞补习班，东莞中小学辅导，东莞提升学习成绩，东莞中小学培训励志格言：伟大的思想只有付诸行动才能成为壮举。——威·赫兹里特凤岗全科培训/。
凤岗全科培训/。 东莞小学生辅导班，东莞补习班，东莞中小学辅导，东莞提升学习成绩，东莞中小学培训励志格言：以解决自己的问题为目标，这是一个实实在在的道理，正视自己的问题，设法解决它，这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个小漏洞、小障碍上，谁就先迈出了一大步。。五年级数学图形面积计算技巧
一、基本图形面积公式
三角形：面积 = 底×高÷2。例如一个底为4厘米，高为3厘米的三角形，其面积就是
4
×
3
÷
2
=
6
4×3÷2=6平方厘米。
长方形：面积 = 长×宽。若长是5厘米，宽是3厘米，面积为
5
×
3
=
15
5×3=15平方厘米。
正方形：面积 = 边长×边长。边长为4厘米的正方形面积是
4
×
4
=
16
4×4=16平方厘米。
平行四边形：面积 = 底×高。底为6厘米，高为4厘米时，面积是
6
×
4
=
24
6×4=24平方厘米。
梯形：面积=(上底 + 下底)×高÷2。上底2厘米、下底4厘米、高3厘米的梯形，面积为
(
2
+
4
)
×
3
÷
2
=
9
(2+4)×3÷2=9平方厘米。
二、不规则图形面积计算技巧
（一）相加法
原理：将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
示例：求一个由半圆和正方形组成的图形面积，可分别计算半圆的面积和正方形的面积，然后将二者相加得到总面积。
（二）相减法
原理：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
示例：求正方形中去掉一个圆后的剩余面积，只需用正方形面积减去圆的面积即可。
（三）直接求法
原理：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。
示例：如果能直接判断出阴影部分是一个底是2、高是4的三角形，就可以直接用三角形面积公式求出其面积。
（四）重新组合法
原理：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。
示例：对于一个阴影部分分布比较分散的图形，可以拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，再求面积。
（五）辅助线法
原理：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。
示例：有的图形虽然可以用相减法解决，但添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）割补法
原理：把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。
示例：求阴影部分面积时，把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。
（七）平移法
原理：将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
示例：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
（八）旋转法
原理：将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积。
示例：左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成新的图形，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。
（九）对称添补法
原理：作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形，原来图形面积就是这个新图形面积的一半。
示例：沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD，通过新图形求原图形面积。
（十）重叠法
原理：将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。
示例：可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。凤岗全科培训/ 东莞小学生辅导班，东莞补习班，东莞中小学辅导，东莞提升学习成绩，东莞中小学培训励志格言：患难可以试验一个人的品格，非常的境遇方可以显出非常的气节。--莎士比亚凤岗全科培训/。
